一元二次方程求根公式

一元二次方程求根公式是数学中用来解决一元二次方程问题的基本公式。以下是详细的一元二次方程求根公式及其推导过程：

公式

对于一元二次方程： [ ax^2 + bx + c = 0 ] 其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a eq 0$，求解方程的根。

根据求根公式，方程的根为： [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] 其中 $\sqrt{b^2 - 4ac}$ 被称为方程的判别式，记为 $\Delta$。

判别式及其意义

• 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个实数根。
• 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根。
• 当 $\Delta < 0$ 时，方程没有实数根，但有共轭复数根。

推导过程

推导过程主要涉及配方法和代数运算。具体步骤如下：

1. 将方程移项，使得右边为 $0$： [ ax^2 + bx = -c ]

2. 两边同时除以 $a$（假设 $a eq 0$），得到： [ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} ]

3. 两边同时加上 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$： [ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 ]

4. 左边可以配成完全平方式： [ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} ]

5. 两边开平方，得到： [ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}} ]

6. 移项，得到： [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

结论

一元二次方程求根公式是解决一元二次方程问题的重要工具，通过求根公式，我们可以直接得到方程的根，无需进行复杂的配方法和代数运算。